Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

Schritt 1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

Schritt 2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 | x | = - x^{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 | x | = - x^{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 | x | = - x^{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $| x |$ durch $1$ .

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{3}$ in den Zähler.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 6.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x = - x^{2}$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + x^{2} = 0$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 u + u^{2} = 0$

Schritt 6.4.2.2

Faktorisiere $u$ aus $3 u + u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.4.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $3 u$ heraus.

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

Schritt 6.4.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

Schritt 6.4.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 3 + u \cdot u$ heraus.

$u (3 + u) = 0$

Schritt 6.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (3 + x) = 0$

Schritt 6.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 + x = 0$

Schritt 6.4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4.5

Setze $3 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.5.1

Setze $3 + x$ gleich $0$ .

$3 + x = 0$

Schritt 6.4.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 + x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 6.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 6.6

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 6.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Schritt 6.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x = x^{2}$

Schritt 6.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - x^{2} = 0$

Schritt 6.8.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.8.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Schritt 6.8.2.2

Faktorisiere $u$ aus $3 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.8.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $3 u$ heraus.

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Schritt 6.8.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Schritt 6.8.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 3 + u (- u)$ heraus.

$u (3 - u) = 0$

Schritt 6.8.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Schritt 6.8.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 6.8.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.8.5

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.5.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 6.8.5.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 6.8.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.8.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.8.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 6.8.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.5.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 6.8.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 6.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 0, - 3, 3$

Schritt 7

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 18$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $10$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Wahr

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 < x < 0$ oder $0 < x < 3$ oder $x > 3$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 15