Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 4^{2} + 24 x + 47$

Schritt 1

Vereinfache $4^{2} + 24 x + 47$ .

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Schritt 1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 16 + 24 x + 47$

Schritt 1.2

Addiere $16$ und $47$ .

$y = 24 x + 63$

Schritt 2

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Schritt 3

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{7}{8}, \pm \frac{7}{12}, \pm \frac{7}{24}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm \frac{21}{4}, \pm \frac{21}{8}, \pm 63, \pm \frac{63}{2}, \pm \frac{63}{4}, \pm \frac{63}{8}$

Schritt 4

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$24 (- \frac{21}{8}) + 63$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - \frac{21}{8}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{21}{8}$ in den Zähler.

$24 (\frac{- 21}{8}) + 63$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$8 (3) \frac{- 21}{8} + 63$

Schritt 5.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot 3 \frac{- 21}{8} + 63$

Schritt 5.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot - 21 + 63$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 21$ .

$- 63 + 63$

Schritt 5.2

Addiere $- 63$ und $63$ .

$0$

Schritt 6

Da $- \frac{21}{8}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + \frac{21}{8}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{24 x + 63}{x + \frac{21}{8}}$

Schritt 7

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 7.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

Schritt 7.2

Die erste Zahl im Dividenden $(24)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

	$24$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(24)$ mit dem Divisor $(- \frac{21}{8})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 63)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(63)$ .

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$

Schritt 7.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$	$0$

Schritt 7.5

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$24$

Schritt 8

Da $24 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 9

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$x + \frac{21}{8}$

Schritt 10

Das sind die Wurzeln des Polynoms $24 x + 63$ .

$x = - \frac{21}{8}$

Schritt 11