Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 14 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{5}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$4 \frac{5^{3}}{2^{3}} - 14 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$4 \frac{125}{2^{3}} - 14 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 (\frac{125}{8}) - 14 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \frac{125}{4 (2)} - 14 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{125}{4 \cdot 2} - 14 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25$

Schritt 4.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{125}{2} - 14 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{125}{2} - 14 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 25$

Schritt 4.1.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{125}{2} - 14 \frac{25}{2^{2}} + 25$

Schritt 4.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{125}{2} - 14 (\frac{25}{4}) + 25$

Schritt 4.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$\frac{125}{2} + 2 (- 7) \frac{25}{4} + 25$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{125}{2} + 2 \cdot - 7 \frac{25}{2 \cdot 2} + 25$

Schritt 4.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{125}{2} + 2 \cdot - 7 \frac{25}{2 \cdot 2} + 25$

Schritt 4.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{125}{2} - 7 (\frac{25}{2}) + 25$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $- 7$ und $\frac{25}{2}$ .

$\frac{125}{2} + \frac{- 7 \cdot 25}{2} + 25$

Schritt 4.1.10

Mutltipliziere $- 7$ mit $25$ .

$\frac{125}{2} + \frac{- 175}{2} + 25$

Schritt 4.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{125}{2} - \frac{175}{2} + 25$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$25 + \frac{125 - 175}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $175$ von $125$ .

$25 + \frac{- 50}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $- 50$ durch $2$ .

$25 - 25$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{5}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{5}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 14 x^{2} + 25}{x - \frac{5}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 14)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$
		$10$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$
		$10$
	$4$	$- 4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$
		$10$	$- 10$
	$4$	$- 4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$
		$10$	$- 10$
	$4$	$- 4$	$- 10$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 10)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(25)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$
		$10$	$- 10$	$- 25$
	$4$	$- 4$	$- 10$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$4$	$- 14$	$0$	$25$
		$10$	$- 10$	$- 25$
	$4$	$- 4$	$- 10$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 4 x - 10$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 4 x - 10$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 4 x - 10$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x^{2}) - 4 x - 10)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x^{2}) + 2 (- 2 x) - 10)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (- 5))$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- 2 x)$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x^{2} - 2 x) + 2 (- 5))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - 2 x) + 2 (- 5)$ heraus.

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x^{2} - 2 x - 5))$

Schritt 8

Faktorisiere $4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 8.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Schritt 8.3

Setze $2.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.3.1

Setze $2.5$ in das Polynom ein.

$4 \cdot {2.5}^{3} - 14 \cdot {2.5}^{2} + 25$

Schritt 8.3.2

Potenziere $2.5$ mit $3$ .

$4 \cdot 15.625 - 14 \cdot {2.5}^{2} + 25$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $15.625$ .

$62.5 - 14 \cdot {2.5}^{2} + 25$

Schritt 8.3.4

Potenziere $2.5$ mit $2$ .

$62.5 - 14 \cdot 6.25 + 25$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $- 14$ mit $6.25$ .

$62.5 - 87.5 + 25$

Schritt 8.3.6

Subtrahiere $87.5$ von $62.5$ .

$- 25 + 25$

Schritt 8.3.7

Addiere $- 25$ und $25$ .

$0$

Schritt 8.4

Da $2.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 14 x^{2} + 25}{2 x - 5}$

Schritt 8.5

Dividiere $4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$ durch $2 x - 5$ .

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Schritt 8.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$5$

$4 x^{3}$

$14 x^{2}$

$0 x$

$25$

Schritt 8.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$

Schritt 8.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			+	$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Schritt 8.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Schritt 8.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 8.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 8.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 8.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 8.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 10 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 8.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$

Schritt 8.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$

Schritt 8.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$

Schritt 8.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$
							-	$10 x$	+	$25$

Schritt 8.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 x + 25$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$
							+	$10 x$	-	$25$

Schritt 8.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
$2 x$	-	$5$		$4 x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$0 x$	+	$25$
			-	$4 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$10 x$	+	$25$
							+	$10 x$	-	$25$
										$0$

Schritt 8.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 2 x - 5$

Schritt 8.6

Schreibe $4 x^{3} - 14 x^{2} + 25$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 5) (2 x^{2} - 2 x - 5) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Schritt 10

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 11

Setze $2 x^{2} - 2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x^{2} - 2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x^{2} - 2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 11.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.3

Addiere $4$ und $40$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 11.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$

Schritt 11.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Schritt 11.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 11.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.3

Addiere $4$ und $40$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 11.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$

Schritt 11.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Schritt 11.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{2}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 11.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.3

Addiere $4$ und $40$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 11.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$

Schritt 11.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Schritt 11.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 5) (2 x^{2} - 2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{2}, \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5}{2}, \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Dezimalform:

$x = 2.5, 2.15831239 \dots, - 1.15831239 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Schritt 14