Finite Mathematik Beispiele

$8 \cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 \cos (3 x) - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 \cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (3 x) = \frac{1}{2}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \cos (3 x) = \frac{1}{2}$ durch $8$ .

$\frac{8 \cos (3 x)}{8} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cos (3 x)}{8} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (3 x)$ durch $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (3 x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{16}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x = \arccos (\frac{1}{16})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Berechne $\arccos (\frac{1}{16})$ .

$3 x = 1.50825556$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1.50825556$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1.50825556$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1.50825556}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1.50825556}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1.50825556}{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $1.50825556$ durch $3$ .

$x = 0.50275185$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 (3.14159265) - 1.50825556$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$3 x = 6.2831853 - 1.50825556$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $1.50825556$ von $6.2831853$ .

$3 x = 4.77492974$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4.77492974$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4.77492974$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4.77492974}{3}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4.77492974}{3}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4.77492974}{3}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $4.77492974$ durch $3$ .

$x = 1.59164324$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (3 x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.50275185 + \frac{2 π n}{3}, 1.59164324 + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$