Finite Mathematik Beispiele

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

Schritt 1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

Schritt 2

Setze das Argument in $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ als ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 3.3.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 3.3.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 3.3.6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 3.3.7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.3.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 3.3.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 3.3.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.3.9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.3.10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Schritt 3.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Schritt 3.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 3.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

Schritt 3.6.1.3

Die linke Seite $1.08738037$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

Schritt 3.6.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 3.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

Schritt 3.6.3.3

Die linke Seite $1.08738037$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{2}$ Wahr

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falsch

$x > \sqrt{2}$ Wahr

$x < - \sqrt{2}$ Wahr

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falsch

$x > \sqrt{2}$ Wahr

Schritt 3.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \sqrt{2}$ oder $x > \sqrt{2}$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 5.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 5.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

Schritt 7