Finite Mathematik Beispiele

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

Schritt 1

Subtrahiere $\log_{3} (3 x - 1)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

Schritt 5

Vereinfache $3^{0} (3 x - 1)$ .

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Schritt 5.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3 x - 1$ mit $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $(5 - x) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Schritt 6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Schritt 6.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $x$ von $5 x$ .

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

Schritt 6.3

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$x + 5 - x^{2} = - 1$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} = - 1 - 5$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$x - x^{2} = - 6$

Schritt 8

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} + 6 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x - x^{2} + 6$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Schritt 9.1.4

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 9.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 9.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Schritt 9.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 11

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 12

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 2$