Finite Mathematik Beispiele

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

Schritt 1

Setze $3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ gleich $0$ .

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x^{3} + 24 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 8 x$ aus $24 x$ heraus.

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ heraus.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ heraus.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ heraus.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.7.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $- 8 x (x^{2} - 3)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere $x^{2} - 3$ aus $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ heraus.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.1.11

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.4

Setze $3 x^{2} - 8 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x^{2} - 8 x + 3$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 8$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Dezimalform:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

Schritt 4