Finite Mathematik Beispiele

$[\begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 2 - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$- 10 - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 10 - - 2$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 10 + 2$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 10$ und $2$ .

$- 8$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{8}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{- 1}{4}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.4

Multipliziere $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 1 (\frac{1}{8}) \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.5.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 7.7

Multipliziere $- \frac{1}{8} \cdot 5$ .

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - 5 (\frac{1}{8}) \end{array}]$

Schritt 7.7.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{8}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & \frac{- 5}{8} \end{array}]$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{5}{8} \end{array}]$