Chemie Beispiele

$\sin (- x) \cot (x) = \cos (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\sin (- x) \cot (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Da $\sin (- x)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- x)$ als $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) \cot (x) = \cos (x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Füge Klammern hinzu.

$- (\sin (x) \cot (x)) = \cos (x)$

Schritt 1.1.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $\cot (x)$ um.

$- (\cot (x) \sin (x)) = \cos (x)$

Schritt 1.1.2.3

Schreibe $- \sin (x) \cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) = \cos (x)$

Schritt 1.1.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$- \cos (x) = \cos (x)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 7

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$