Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{3} + 8$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{3} + 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.1.4

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Schritt 3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 8$ .

$2 {(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$