Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} - 2 x + 3 & X < 2 \\ x - 3 & X \geq 2 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $- 2 x + 3$ , wenn sich $x$ von links $2$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 2^{-}} - 2 x + 3$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$- lim_{x \to 2^{-}} 2 x + lim_{x \to 2^{-}} 3$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to 2^{-}} x + lim_{x \to 2^{-}} 3$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$- 2 lim_{x \to 2^{-}} x + 3$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$- 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 + 3$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 4$ und $3$ .

$- 1$

Schritt 2

Berechne $x - 3$ bei $2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$(2) - 3$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 1$

Schritt 3

Da die Grenze von $- 2 x + 3$ bei Annäherung von $x$ an $2$ von links gleich dem Funktionswert bei $x = 2$ ist, ist die Funktion bei $x = 2$ kontinuierlich.

Stetig

Schritt 4