Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} - x + 4 & x < 1 \\ 2 x + 1 & x \geq 1 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $- x + 4$ , wenn sich $x$ von links $1$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 1^{-}} - x + 4$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$- lim_{x \to 1^{-}} x + lim_{x \to 1^{-}} 4$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$- lim_{x \to 1^{-}} x + 4$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$- 1 + 4$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$3$

Schritt 2

Berechne $2 x + 1$ bei $1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$2 (1) + 1$

Schritt 2.2

Berechne.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 3

Da die Grenze von $- x + 4$ bei Annäherung von $x$ an $1$ von links gleich dem Funktionswert bei $x = 1$ ist, ist die Funktion bei $x = 1$ kontinuierlich.

Stetig

Schritt 4