Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} (\frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Schritt 3

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{4}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{4}{5} \int_{0}^{2} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Schritt 5

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- \frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \int_{0}^{2} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Schritt 7

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \int_{0}^{2} t d t$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{1}{4} t^{4}$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{4}{5} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{1}{3} t^{3}$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{1}{2} t^{2}$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $16$ .

$\frac{4}{5} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 9.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{5} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.5

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{5} (4 + 0 (\frac{1}{4})) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.6

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{5} (4 + 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.7

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot 4 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.8

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.13

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.14

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.15

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.16

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{16}{5} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.17

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{16}{5} - \frac{24}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.18

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{16}{5} - \frac{24}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $12$ .

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Schritt 9.4.19.1

Faktorisiere $12$ aus $24$ heraus.

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.19.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 (1)} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{5} - \frac{2}{1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.19.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{16}{5} - 1 \cdot 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{16}{5} - 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.21

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.22

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.24.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{16 - 10}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.24.2

Subtrahiere $10$ von $16$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.25

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.26

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.27

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.4.27.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.27.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.27.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.27.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.27.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.27.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.4.28

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 9.4.29

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0 (\frac{1}{2}))$

Schritt 9.4.30

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0)$

Schritt 9.4.31

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} \cdot 2$

Schritt 9.4.32

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2 \cdot 2}{5}$

Schritt 9.4.33

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 9.4.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 + 4}{5}$

Schritt 9.4.35

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{10}{5}$

Schritt 9.4.36

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 9.4.36.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

Schritt 9.4.36.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.36.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Schritt 9.4.36.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Schritt 9.4.36.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1}$

Schritt 9.4.36.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 10