Analysis Beispiele

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $e^{x} \cos (x)$ und $- \cos (x) e^{x}$ neu an.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.4.1.2

Subtrahiere $e^{x} \cos (x)$ von $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.4.1.3

Addiere $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ und $0$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.4.3

Subtrahiere $\sin (x) e^{x}$ von $- e^{x} \sin (x)$ .

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Schritt 3.6.4.3.1

Bewege $\sin (x)$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.4.3.2

Subtrahiere $e^{x} \sin (x)$ von $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.6.5.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- 2 e^{x} \sin (x)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 3.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 3.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

Schritt 3.6.5.2.4

Dividiere $- 2 e^{- x} \sin (x)$ durch $1$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$