Analysis Beispiele

y = sin (x y)

$y = \sin (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (sin (x y))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Schritt 2

Die Ableitung von

y

$y$ nach

x

$x$ ist

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ und

g (x) = x y

$g (x) = x y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

x y

$x y$ .

\frac{d}{d u} [sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von

sin (u)

$\sin (u)$ nach

u

$u$ ist

cos (u)

$\cos (u)$ .

cos (u) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

x y

$x y$ .

cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

f (x) = x

$f (x) = x$ und

g (x) = y

$g (x) = y$ .

cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ als

y'

$y'$ um.

cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

cos (x y) (x y' + y \cdot 1)

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere

y

$y$ mit

1

$1$ .

cos (x y) (x y' + y)

$\cos (x y) (x y' + y)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

cos (x y) (x y') + cos (x y) y

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

y' = x cos (x y) y' + y cos (x y)

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 5

Löse nach

y'

$y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in

x cos (x y) y' + y cos (x y)

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ um.

y' = x y' cos (x y) + y cos (x y)

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

y' = x y' cos (x y) + y cos (x y)

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Schritt 5.2

Subtrahiere

x y' cos (x y)

$x y' \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

y' - x y' cos (x y) = y cos (x y)

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Schritt 5.3

Faktorisiere

y'

$y'$ aus

y' - x y' cos (x y)

$y' - x y' \cos (x y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere

y'

$y'$ aus

{y'}^{1}

${y'}^{1}$ heraus.

y' \cdot 1 - x y' cos (x y) = y cos (x y)

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere

y'

$y'$ aus

- x y' cos (x y)

$- x y' \cos (x y)$ heraus.

y' \cdot 1 + y' (- x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere

y'

$y'$ aus

y' \cdot 1 + y' (- x cos (x y))

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ heraus.

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ durch

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in

y' (1 - x cos (x y)) = y cos (x y)

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ durch

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ .

\frac{y' (1 - x cos (x y))}{1 - x cos (x y)} = \frac{y cos (x y)}{1 - x cos (x y)}

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

1 - x cos (x y)

$1 - x \cos (x y)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere

$y'$ durch

$1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 6

Ersetze

$y'$ durch

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$