Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ als ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$