Analysis Beispiele

$\tan (x y) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ um.

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y \sec^{2} (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ durch $x \sec^{2} (x y)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ durch $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$