Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y} = x$ um.

$\sqrt{y} = x$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = x^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$y = x^{2}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(\sqrt{x})}^{2}$

Schritt 4.2.3

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

Schritt 4.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (x^{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 4.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2}$