Analysis Beispiele

$x e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $x e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x} + e^{x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Schritt 3.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ heraus.

$e^{x} (x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 1$ .

$- 1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = x e^{x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Schritt 6.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Schritt 6.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Schritt 6.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{1}{e^{2}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Schritt 7.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 7.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $1$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1)$

Schritt 9