Analysis Beispiele

$\sqrt{3 x}$

Step 1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{3 y}$

Step 2

Löse nach $y$ auf.

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Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3 y} = x$ um.

$\sqrt{3 y} = x$

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 y}}^{2} = x^{2}$

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 y}$ als ${(3 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Vereinfache die linke Seite.

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Vereinfache ${({(3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Forme den Ausdruck um.

${(3 y)}^{1} = x^{2}$

Vereinfache.

$3 y = x^{2}$

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3}$

Vereinfache die linke Seite.

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Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3}$

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3}$

Step 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{3 x}$ ist.

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Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{{(\sqrt{3 x})}^{2}}{3}$

Schreibe ${\sqrt{3 x}}^{2}$ als $3 x$ um.

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Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{{({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}{3}$

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x}) = x$

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Berechne $f (\frac{x^{2}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 x^{2}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3}) = \sqrt{x^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{3}) = x$

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3}$