Analysis Beispiele

$\cos (2 y)$

Schritt 1

Schreibe

$\cos (2 y)$ als Funktion.

$f (y) = \cos (2 y)$

Schritt 2

Die Funktion

$F (y)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung

$f (y)$ ermittelt wird.

$F (y) = \int f (y) d y$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (y) = \int \cos (2 y) d y$

Schritt 4

Sei

$u = 2 y$ . Dann ist

$d u = 2 d y$ , folglich

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von

$u$ und

$d$

$u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei

$u = 2 y$ . Ermittle

$\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere

$2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 4.1.2

$2$ konstant bezüglich

$y$ ist, ist die Ableitung von

$2 y$ nach

$y$ gleich

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich

$n y^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

$u$ und

$d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere

$\cos (u)$ und

$\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 6

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

$u$ ist, ziehe

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von

$\cos (u)$ nach

$u$ ist

$\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle

$u$ durch

$2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion

$f (y) = \cos (2 y)$ .

$F (y) =$

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$