Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 4$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 4$ .

$4 x^{3} - 4$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 4 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = 4$

Schritt 5.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 4$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ heraus.

$4 (x^{3} - 1) = 0$

Schritt 5.4.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Schritt 5.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.4.1

Vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Schritt 5.4.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Schritt 5.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 5.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 5.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.7

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 5.7.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.7.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.7.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.7.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.7.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1)}^{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 \cdot 1$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 4$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (1) = - 3$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$y = - 3$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - 4 x$ .

$(1, - 3)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13