Analysis Beispiele

$y = f (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = f (x)$ als Funktion.

$f (x) = f (x)$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $f (x)$ $\frac{d f}{d x}$ ist.

$\frac{d f}{d x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

Schritt 3.2

Da $f$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{f}{x}$ nach $x$ gleich $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $f$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $f (x)$ $\frac{d f}{d x}$ ist.

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{d f}{d x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f}{x} = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $x$ .

$f = x (0)$

Schritt 6.4

Schreibe die Gleichung als $x (0) = f$ um.

$x (0) = f$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$0 = f$

Schritt 6.6

Schreibe die $0 = f$ so um, dass $f$ auf der linken Seite steht.

$f = 0$

Schritt 6.7

Die Variable $x$ wurde abgebrochen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{d f}{d x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$d x = 0$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $d x = 0$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $d x = 0$ durch $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $0$ durch $x$ .

$d = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $l$ mit $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $l$ mit $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.5

Potenziere $l$ mit $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.7

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.8

Potenziere $e$ mit $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.9

Potenziere $e$ mit $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

Schritt 10.1.12

Potenziere $r$ mit $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

Schritt 10.1.13

Potenziere $r$ mit $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

Schritt 10.1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

Schritt 10.1.15

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.3.1

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3.2

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a n u m b e^{2}$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3.3

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a n u m b$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3.4

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a n u m$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3.5

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a n u$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3.6

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a n$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3.7

Wende die Produktregel auf $A l^{3} a$ an.

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.3.8

Wende die Produktregel auf $A l^{3}$ an.

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.4

Multipliziere die Exponenten in ${(l^{3})}^{2}$ .

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Schritt 10.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.5

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Schritt 10.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Schritt 10.6

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{2}$ .

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Schritt 10.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

Schritt 10.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

Schritt 11

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 12