Analysis Beispiele

h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}

$h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]

$\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ gleich

\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}

$\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ ist mit

f (w) = 5 w^{6} - w

$f (w) = 5 w^{6} - w$ und

g (w) = w

$g (w) = w$ .

\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

5 w^{6} - w

$5 w^{6} - w$ nach

w

$w$

\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]$ .

\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 3

Berechne

\frac{d}{d w} [5 w^{6}]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}]$ .

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Schritt 3.1

5

$5$ konstant bezüglich

w

$w$ ist, ist die Ableitung von

5 w^{6}

$5 w^{6}$ nach

w

$w$ gleich

5 \frac{d}{d w} [w^{6}]

$5 \frac{d}{d w} [w^{6}]$ .

\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ ist mit

n = 6

$n = 6$ .

\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere

6

$6$ mit

5

$5$ .

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 4

Berechne

\frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [- w]$ .

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Schritt 4.1

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

w

$w$ ist, ist die Ableitung von

- w

$- w$ nach

w

$w$ gleich

- \frac{d}{d w} [w]

$- \frac{d}{d w} [w]$ .

\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Multipliziere

w

$w$ mit

w^{5}

$w^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.2.1

Bewege

w^{5}

$w^{5}$ .

\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.2.2

Mutltipliziere

$w^{5}$ mit

$w$ .

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Schritt 6.4.1.2.2.1

Potenziere

$w$ mit

$1$ .

$\frac{30 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.2.3

Addiere

$5$ und

$1$ .

$\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Bringe

$- 1$ auf die linke Seite von

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 1 \cdot w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.4

Schreibe

$- 1 w$ als

$- w$ um.

$\frac{30 w^{6} - w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.5

Mutltipliziere

$5$ mit

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.6

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.7

Multipliziere

$- - w$ .

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Schritt 6.4.1.7.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + 1 w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.7.2

Mutltipliziere

$w$ mit

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w \cdot 1}{w^{2}}$

Schritt 6.4.1.8

Mutltipliziere

$w$ mit

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w}{w^{2}}$

Schritt 6.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w$ .

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Schritt 6.4.2.1

Addiere

$- w$ und

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6} + 0}{w^{2}}$

Schritt 6.4.2.2

Addiere

$30 w^{6} - 5 w^{6}$ und

$0$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6}}{w^{2}}$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere

$5 w^{6}$ von

$30 w^{6}$ .

$\frac{25 w^{6}}{w^{2}}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$w^{6}$ und

$w^{2}$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere

$w^{2}$ aus

$25 w^{6}$ heraus.

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2}}$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Multipliziere mit

$1$ .

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 w^{4}}{1}$

Schritt 6.5.2.4

Dividiere

$25 w^{4}$ durch

$1$ .

$25 w^{4}$