Analysis Beispiele

$x^{3} - 49 x \geq 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{3} - 49 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 49 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 49 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 49 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 49 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 49$ heraus.

$x (x^{2} - 49) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x (x^{2} - 7^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$x ((x + 7) (x - 7)) = 0$

Schritt 2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 7) (x - 7) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 6

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 7) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 7, 7$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 10)}^{3} - 49 \cdot - 10 \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 510$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{3} - 49 \cdot - 4 \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $132$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{3} - 49 \cdot 4 \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 132$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(10)}^{3} - 49 \cdot 10 \geq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $510$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 \leq x \leq 0$ oder $x \geq 7$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 7, 0] \cup [7, \infty)$

Schritt 12