Analysis Beispiele

y = 13 - x^{2}

$y = 13 - x^{2}$ ,

y = x^{2} - 5

$y = x^{2} - 5$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

13 - x^{2} = x^{2} - 5

$13 - x^{2} = x^{2} - 5$

Schritt 1.2

Löse

13 - x^{2} = x^{2} - 5

$13 - x^{2} = x^{2} - 5$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die

x

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere

x^{2}

$x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

13 - x^{2} - x^{2} = - 5

$13 - x^{2} - x^{2} = - 5$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere

x^{2}

$x^{2}$ von

- x^{2}

$- x^{2}$ .

13 - 2 x^{2} = - 5

$13 - 2 x^{2} = - 5$

13 - 2 x^{2} = - 5

$13 - 2 x^{2} = - 5$

Schritt 1.2.2

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere

13

$13$ von beiden Seiten der Gleichung.

- 2 x^{2} = - 5 - 13

$- 2 x^{2} = - 5 - 13$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere

13

$13$ von

- 5

$- 5$ .

- 2 x^{2} = - 18

$- 2 x^{2} = - 18$

- 2 x^{2} = - 18

$- 2 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in

- 2 x^{2} = - 18

$- 2 x^{2} = - 18$ durch

- 2

$- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in

- 2 x^{2} = - 18

$- 2 x^{2} = - 18$ durch

- 2

$- 2$ .

\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

- 2

$- 2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere

x^{2}

$x^{2}$ durch

1

$1$ .

x^{2} = \frac{- 18}{- 2}

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

x^{2} = \frac{- 18}{- 2}

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

x^{2} = \frac{- 18}{- 2}

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere

- 18

$- 18$ durch

- 2

$- 2$ .

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

x^{2} = 9

$x^{2} = 9$

Schritt 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{9}

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache

\pm \sqrt{9}

$\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

x = \pm \sqrt{3^{2}}

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

x = \pm 3

$x = \pm 3$

x = \pm 3

$x = \pm 3$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

x = 3

$x = 3$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

x = - 3

$x = - 3$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

x = 3, - 3

$x = 3, - 3$

Schritt 1.3

Berechne

y

$y$ bei

x = 3

$x = 3$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze

x

$x$ durch

3

$3$ .

y = {(3)}^{2} - 5

$y = {(3)}^{2} - 5$

Schritt 1.3.2

Setze

3

$3$ für

x

$x$ in

y = {(3)}^{2} - 5

$y = {(3)}^{2} - 5$ ein, löse dann nach

y

$y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

y = 3^{2} - 5

$y = 3^{2} - 5$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache

3^{2} - 5

$3^{2} - 5$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

y = 9 - 5

$y = 9 - 5$

Schritt 1.3.2.2.2

Subtrahiere

5

$5$ von

9

$9$ .

y = 4

$y = 4$

y = 4

$y = 4$

y = 4

$y = 4$

y = 4

$y = 4$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

(3, 4)

$(3, 4)$

(- 3, 4)

$(- 3, 4)$

(3, 4)

$(3, 4)$

(- 3, 4)

$(- 3, 4)$

Schritt 2

Stelle

13

$13$ und

- x^{2}

$- x^{2}$ um.

y = - x^{2} + 13

$y = - x^{2} + 13$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

A r e a = \int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} - 5 d x

$A r e a = \int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} - 5 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen

- 3

$- 3$ und

3

$3$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 - (x^{2} - 5) d x

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 - (x^{2} - 5) d x$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

- x^{2} + 13 - x^{2} - - 5

$- x^{2} + 13 - x^{2} - - 5$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 5

$- 5$ .

- x^{2} + 13 - x^{2} + 5

$- x^{2} + 13 - x^{2} + 5$

\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 - x^{2} + 5 d x

$\int_{- 3}^{3} - x^{2} + 13 - x^{2} + 5 d x$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere

x^{2}

$x^{2}$ von

- x^{2}

$- x^{2}$ .

- 2 x^{2} + 13 + 5

$- 2 x^{2} + 13 + 5$

Schritt 4.3.2

Addiere

13

$13$ und

5

$5$ .

- 2 x^{2} + 18

$- 2 x^{2} + 18$

\int_{- 3}^{3} - 2 x^{2} + 18 d x

$\int_{- 3}^{3} - 2 x^{2} + 18 d x$

Schritt 4.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

\int_{- 3}^{3} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 18 d x

$\int_{- 3}^{3} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Schritt 4.5

- 2

$- 2$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

- 2

$- 2$ aus dem Integral.

- 2 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 18 d x

$- 2 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von

x^{2}

$x^{2}$ nach

x

$x$ gleich

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 18 d x

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Schritt 4.7

Kombiniere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ und

x^{3}

$x^{3}$ .

- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 18 d x

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 18 d x$

Schritt 4.8

Wende die Konstantenregel an.

- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 18 x]_{- 3}^{3}

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 18 x]_{- 3}^{3}$

Schritt 4.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Berechne

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ bei

3

$3$ und

- 3

$- 3$ .

- 2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 x]_{- 3}^{3}

$- 2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 x]_{- 3}^{3}$

Schritt 4.9.2

Berechne

18 x

$18 x$ bei

3

$3$ und

- 3

$- 3$ .

- 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3

Vereinfache.

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Schritt 4.9.3.1

Potenziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

- 2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

27

$27$ und

3

$3$ .

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Schritt 4.9.3.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

27

$27$ heraus.

- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.3.2.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3

$3$ heraus.

- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

- 2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.2.2.4

Dividiere

9

$9$ durch

1

$1$ .

- 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

- 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

- 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.3

Potenziere

- 3

$- 3$ mit

3

$3$ .

- 2 (9 - \frac{- 27}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{- 27}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 27

$- 27$ und

3

$3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.3.4.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

- 27

$- 27$ heraus.

- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.3.4.2.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3

$3$ heraus.

- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

- 2 (9 - \frac{- 9}{1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - \frac{- 9}{1}) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.4.2.4

Dividiere

- 9

$- 9$ durch

1

$1$ .

- 2 (9 - - 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - - 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

- 2 (9 - - 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - - 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

- 2 (9 - - 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 - - 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 9

$- 9$ .

- 2 (9 + 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 (9 + 9) + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.6

Addiere

9

$9$ und

9

$9$ .

- 2 \cdot 18 + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 2 \cdot 18 + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.7

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

18

$18$ .

- 36 + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3

$- 36 + 18 \cdot 3 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.8

Mutltipliziere

18

$18$ mit

3

$3$ .

- 36 + 54 - 18 \cdot - 3

$- 36 + 54 - 18 \cdot - 3$

Schritt 4.9.3.9

Mutltipliziere

- 18

$- 18$ mit

- 3

$- 3$ .

- 36 + 54 + 54

$- 36 + 54 + 54$

Schritt 4.9.3.10

Addiere

54

$54$ und

54

$54$ .

- 36 + 108

$- 36 + 108$

Schritt 4.9.3.11

Addiere

- 36

$- 36$ und

108

$108$ .

72

$72$

72

$72$

72

$72$

72

$72$

Schritt 5