Analysis Beispiele

f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$ ,

[0, 15]

$[0, 15]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit

$f (x) = x$ und

$g (x) = x^{2} - x + 25$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere

$x^{2} - x + 25$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$x^{2} - x + 25$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- x$ nach

$x$ gleich

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.7

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.8

$25$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$25$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.9

Addiere

$2 x - 1$ und

$0$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Multipliziere

$x$ mit

$x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Bewege

$x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.4

Multipliziere

$- x \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.2.1.4.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.4.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Addiere

$- x$ und

$x$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Addiere

$x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ und

$0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2.3

Subtrahiere

$2 x^{2}$ von

$x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Schreibe

$25$ als

$5^{2}$ um.

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Stelle

$- x^{2}$ und

$5^{2}$ um.

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 5$ und

$b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von

$f (x)$ nach

$x$ ist

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ , dann löse die Gleichung

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich

$0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach

$x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze

$5 + x$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Setze

$5 + x$ gleich

$0$ .

$5 + x = 0$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere

$5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 1.2.3.3

Setze

$5 - x$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze

$5 - x$ gleich

$0$ .

$5 - x = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse

$5 - x = 0$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere

$5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$- x = - 5$ durch

$- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- x = - 5$ durch

$- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.2.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.2.2.3.1

Dividiere

$- 5$ durch

$- 1$ .

$x = 5$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(5 + x) (5 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte

$\frac{x}{x^{2} - x + 25}$ an jeden

$x$ Wert aus, wo die Ableitung

$0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei

$x = - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze

$x$ durch

$- 5$ .

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere

$- 5$ mit

$2$ .

$\frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 5$ .

$\frac{- 5}{25 + 5 + 25}$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Addiere

$25$ und

$5$ .

$\frac{- 5}{30 + 25}$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Addiere

$30$ und

$25$ .

$\frac{- 5}{55}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 5$ und

$55$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1.1

Faktorisiere

$5$ aus

$- 5$ heraus.

$\frac{5 (- 1)}{55}$

Schritt 1.4.1.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1.2.1

Faktorisiere

$5$ aus

$55$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Schritt 1.4.1.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Schritt 1.4.1.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{11}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{11}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei

$x = 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze

$x$ durch

$5$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$5$ und

${(5)}^{2} - (5) + 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Faktorisiere

$5$ aus

$5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.2.1

Faktorisiere

$5$ aus

$5^{2}$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.2

Faktorisiere

$5$ aus

$- (5)$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.3

Faktorisiere

$5$ aus

$5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.4

Faktorisiere

$5$ aus

$25$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.5

Faktorisiere

$5$ aus

$5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Schritt 1.4.2.2.1.2.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5 - 1 + 5}$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere

$1$ von

$5$ .

$\frac{1}{4 + 5}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere

$4$ und

$5$ .

$\frac{1}{9}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(5, \frac{1}{9})$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei

$x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze

$x$ durch

$0$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 25}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 25}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 25}$

Schritt 3.1.2.1.3

Addiere

$0$ und

$0$ .

$\frac{0}{0 + 25}$

Schritt 3.1.2.1.4

Addiere

$0$ und

$25$ .

$\frac{0}{25}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere

$0$ durch

$25$ .

$0$

Schritt 3.2

Berechne bei

$x = 15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze

$x$ durch

$15$ .

$\frac{15}{{(15)}^{2} - (15) + 25}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Potenziere

$15$ mit

$2$ .

$\frac{15}{225 - (15) + 25}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$15$ .

$\frac{15}{225 - 15 + 25}$

Schritt 3.2.2.1.3

Subtrahiere

$15$ von

$225$ .

$\frac{15}{210 + 25}$

Schritt 3.2.2.1.4

Addiere

$210$ und

$25$ .

$\frac{15}{235}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$15$ und

$235$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere

$5$ aus

$15$ heraus.

$\frac{5 (3)}{235}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.2.1

Faktorisiere

$5$ aus

$235$ heraus.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}$

Schritt 3.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}$

Schritt 3.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{47}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (15, \frac{3}{47})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von

$x$ gefundenen

$f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten

$f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten

$f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum:

$(5, \frac{1}{9})$

Absolutes Minimum:

$(0, 0)$

Schritt 5