Analysis Beispiele

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

Schritt 1

Benutze die Halbwinkelformel, um

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ als

\frac{1 - cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

\int \frac{1 - cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 2

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

\frac{1}{2} \int 1 - cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

\frac{1}{2} (\int d x + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

\frac{1}{2} (x + C + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Schritt 5

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ziehe

$- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 6

Sei

$u = 2 x$ . Dann ist

$d u = 2 d x$ , folglich

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

$u$ und

$d$

$u$ .

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Schritt 6.1

Es sei

$u = 2 x$ . Ermittle

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 x$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

$u$ und

$d u$ neu.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7

Kombiniere

$\cos (u)$ und

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 8

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

$u$ ist, ziehe

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 9

Das Integral von

$\cos (u)$ nach

$u$ ist

$\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 11

Ersetze alle

$u$ durch

$2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere

$\sin (2 x)$ und

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 12.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 12.4

Multipliziere

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{2}$ mit

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$