Analysis Beispiele

\infty \sum n = 0 {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei

a

$a$ der erste Term und

r

$r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze

a_{n}

$a_{n}$ und

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ in die Formel für

r

$r$ ein.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ und

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ aus

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ heraus.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit

1

$1$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

r = \frac{\frac{1}{2}}{1}

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ durch

1

$1$ .

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Since

| r | < 1

$| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze

0

$0$ für

n

$n$ in

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ ein.

a = {(\frac{1}{2})}^{0}

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ an.

a = \frac{1^{0}}{2^{0}}

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Schritt 4.2.2

Alles, was mit

0

$0$ potenziert wird, ist

1

$1$ .

a = \frac{1}{2^{0}}

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Schritt 4.2.3

Alles, was mit

0

$0$ potenziert wird, ist

1

$1$ .

a = \frac{1}{1}

$a = \frac{1}{1}$

Schritt 4.2.4

Dividiere

1

$1$ durch

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere

1

$1$ von

2

$2$ .

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

1 \cdot 2

$1 \cdot 2$

Schritt 6.3

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$