Analysis Beispiele

lim_{x \to - \infty} x e^{x}

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

Schritt 1

Schreibe

x e^{x}

$x e^{x}$ als

\frac{x}{e^{- x}}

$\frac{x}{e^{- x}}$ um.

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 2.1.2

Der Grenzwert im negativ Unendlichen eines Polynoms ungeraden Grades, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist minus unendlich.

\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Schritt 2.1.3

Da der Exponent

- x

$- x$ gegen

\infty

$\infty$ geht, nähert sich die Größe

e^{- x}

$e^{- x}$

\infty

$\infty$ an.

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.2

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ und

g (x) = - x

$g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

u

$u$ durch

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ist, wobei

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle

u

$u$ durch

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Schritt 2.3.4

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

- x

$- x$ nach

x

$x$ gleich

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Schritt 2.3.7

Bringe

- 1

$- 1$ auf die linke Seite von

e^{- x}

$e^{- x}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Schritt 2.3.8

Schreibe

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ als

- e^{- x}

$- e^{- x}$ um.

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von

1

$1$ und

- 1

$- 1$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe

1

$1$ als

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ um.

lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Schritt 3

Ziehe den Term

- 1

$- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch

\frac{1}{e^{- x}}

$\frac{1}{e^{- x}}$

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Schritt 5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

0

$0$