Analysis Beispiele

$\cos (2 θ)$

Schritt 1

Sei $u = 2 θ$ . Dann ist $d u = 2 d θ$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 θ$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 θ$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $2 θ$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 θ) + C$