Analysis Beispiele

$\sin^{2} (θ)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (θ)$ als Funktion.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

Schritt 2

Die Funktion $F (θ)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (θ)$ ermittelt wird.

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (θ)$ als $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Schritt 9

Sei $u = 2 θ$ . Dann ist $d u = 2 d θ$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 θ$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 θ$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\sin (2 θ)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Schritt 15.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 15.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$