Analysis Beispiele

$x = \cot (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc^{2} (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \csc^{2} (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \csc^{2} (y) y' = 1$ um.

$- \csc^{2} (y) y' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \csc^{2} (y) y' = 1$ durch $- \csc^{2} (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \csc^{2} (y) y' = 1$ durch $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc^{2} (y)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{\csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = - \frac{1^{2}}{\csc^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (y)}$ als ${(\frac{1}{\csc (y)})}^{2}$ um.

$y' = - {(\frac{1}{\csc (y)})}^{2}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}})}^{2}$

Schritt 5.2.3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$y' = - {(1 \sin (y))}^{2}$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$y' = - \sin^{2} (y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (y)$