Analysis Beispiele

$f (x) = 14 x {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x {(x - 1)}^{3}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$14 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{3}$ mit $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3})$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$42 (x ({(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $14 {(x - 1)}^{2}$ aus $42 x {(x - 1)}^{2} + 14 {(x - 1)}^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $14 {(x - 1)}^{2}$ aus $42 x {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $14 {(x - 1)}^{2}$ aus $14 {(x - 1)}^{3}$ heraus.

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $14 {(x - 1)}^{2}$ aus $14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$ heraus.

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x + x - 1)$

Schritt 5.4

Addiere $3 x$ und $x$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (4 x - 1)$

Schritt 5.5

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$14 ((x - 1) (x - 1)) (4 x - 1)$

Schritt 5.6

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Schritt 5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Schritt 5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$14 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.7.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$14 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.7.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$14 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.7.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$14 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$14 (x^{2} - x - x + 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$14 (x^{2} - 2 x + 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(14 x^{2} + 14 (- 2 x) + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $14$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Schritt 5.9.2

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$

Schritt 5.10

Multipliziere $(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$14 x^{2} (4 x) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$14 \cdot 4 x^{2} x + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.2.1

Bewege $x$ .

$14 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$14 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$14 \cdot 4 x^{1 + 2} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$14 \cdot 4 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.3

Mutltipliziere $14$ mit $4$ .

$56 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x \cdot x - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.6.1

Bewege $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 (x \cdot x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.7

Mutltipliziere $- 28$ mit $4$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 28$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.9

Mutltipliziere $4$ mit $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x + 14 \cdot - 1$

Schritt 5.11.10

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Schritt 5.12

Subtrahiere $112 x^{2}$ von $- 14 x^{2}$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Schritt 5.13

Addiere $28 x$ und $56 x$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 84 x - 14$