Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (\cos (\tan (x)))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (\tan (x))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (\tan (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (\tan (x))$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) \frac{d}{d x} [\cos (\tan (x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $\cos (\cos (\tan (x))) (- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x))$ um.

$- \sec^{2} (x) \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Schritt 4.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (\cos (\tan (x))) \sin (\tan (x))$

Schritt 4.5

Kombiniere $\cos (\cos (\tan (x)))$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Schritt 4.6

Kombiniere $\sin (\tan (x))$ und $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\sin (\tan (x)) \cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 4.8

Separiere Brüche.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Schritt 4.9

Schreibe $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Schritt 4.10

Schreibe $\sin (\tan (x))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Schritt 4.11

Vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Dividiere $\sin (\tan (x))$ durch $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Schritt 4.11.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Schritt 4.12

Schreibe $\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Schritt 4.13

Schreibe $\cos (\cos (\tan (x)))$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{\cos (\cos (\tan (x)))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Schritt 4.14

Vereinfache.

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Schritt 4.14.1

Dividiere $\cos (\cos (\tan (x)))$ durch $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Schritt 4.14.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Schritt 4.15

Multipliziere $\cos (\cos (\tan (x))) \sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

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Schritt 4.15.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \sin (\tan (x)))$

Schritt 4.15.2

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \sin (\tan (x)))$

Schritt 4.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (\cos (\cos (\tan (x))) {\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Schritt 4.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (\cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \cos (\cos (\tan (x))) \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$