Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3}$ , $[0, 1]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{3} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Schritt 6.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0)$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}))$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0)$

Schritt 6.2.6

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4})$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 9