Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Schritt 2.1
Differenziere.
Schritt 2.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2
Berechne .
Schritt 2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Schritt 3.1
Differenziere.
Schritt 3.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 3.2
Berechne .
Schritt 3.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Subtrahiere von .
Schritt 4
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 5
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6
Schritt 6.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 6.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 8
Schritt 8.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 9
Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 10
Schritt 10.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 10.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 10.2.1
Kombiniere und .
Schritt 10.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 10.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 10.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 11
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Schritt 13.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 13.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 13.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 13.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 13.4
Schreibe als um.
Schritt 14
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 15
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 15.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 15.2.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 15.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 15.2.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 15.2.1.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.1.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 17
Schritt 17.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.
Schritt 17.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 17.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 17.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 17.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 17.3.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 17.3.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 17.4
Multipliziere.
Schritt 17.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 17.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 19
Schritt 19.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 19.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 19.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 19.2.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.
Schritt 19.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 19.2.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 19.2.1.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 19.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 19.2.1.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 19.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 20
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 21