Analysis Beispiele

lim_{x \to \infty} x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe

x e^{- x}

$x e^{- x}$ als

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ um.

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 2.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 2.1.3

Da der Exponent

x

$x$ gegen

\infty

$\infty$ geht, nähert sich die Größe

e^{x}

$e^{x}$

\infty

$\infty$ an.

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ ist, wobei

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$

0

$0$ .

0

$0$