Analysis Beispiele

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{5 x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

\frac{lim x \to 0 sin (5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

\frac{sin (lim x \to 0 5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term

5

$5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

\frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{sin (5 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{sin (5 \cdot 0)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

0

$0$ .

\frac{sin (0)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von

sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

\frac{0}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{0}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{0}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Term

5

$5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

x

$x$ ist.

\frac{0}{5 lim x \to 0 x}

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{0}{5 \cdot 0}

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere

5

$5$ mit

0

$0$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

0

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

0

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{5 x} = lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

lim x \to 0 \frac{\frac{d}{d x} [sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \sin (x)$ und

$g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von

$\sin (u)$ nach

$u$ ist

$\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle

$u$ durch

$5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.3

$5$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$5 x$ nach

$x$ gleich

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.6

Bringe

$5$ auf die linke Seite von

$\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.7

$5$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$5 x$ nach

$x$ gleich

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$5$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Schritt 4.1.2

Dividiere

$\cos (5 x)$ durch

$1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Schritt 4.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Schritt 4.3

Ziehe den Term

$5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$x$ ist.

$\cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von

$x$ durch Einsetzen von

$0$ für

$x$ .

$\cos (5 \cdot 0)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$0$ .

$\cos (0)$

Schritt 6.2

Der genau Wert von

$\cos (0)$ ist

$1$ .

$1$