Analysis Beispiele

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn

h

$h$ sich an

0

$0$ annähert.

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von

1

$1$ , welcher konstant ist, wenn

h

$h$ sich

0

$0$ annähert.

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von

h

$h$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

h

$h$ .

\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von

\cos (0)

$\cos (0)$ ist

1

$1$ .

\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere

1

$1$ von

1

$1$ .

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von

h

$h$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

h

$h$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch

0

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

\cos (h) - 1

$\cos (h) - 1$ nach

h

$h$

\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]

$\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von

\cos (h)

$\cos (h)$ nach

h

$h$ ist

- \sin (h)

$- \sin (h)$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

h

$h$ ist, ist die Ableitung von

- 1

$- 1$ bezüglich

h

$h$ gleich

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Addiere

- \sin (h)

$- \sin (h)$ und

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d h} [h^{n}]

$\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich

n h^{n - 1}

$n h^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere

- \sin (h)

$- \sin (h)$ durch

1

$1$ .

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term

- 1

$- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

h

$h$ ist.

- lim_{h \to 0} \sin (h)

$- lim_{h \to 0} \sin (h)$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von

h

$h$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

h

$h$ .

- \sin (0)

$- \sin (0)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von

\sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$