Analysis Beispiele

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Schritt 1.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Schritt 1.1.3

Da der Exponent

$n$ gegen

$\infty$ geht, nähert sich die Größe

$2^{n}$

$\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich

$n \cdot n^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ gleich

$a^{n} \ln (a)$ ist, wobei

$a$ =

$2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

Schritt 2

Ziehe den Term

$\frac{1}{\ln (2)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich

$n$ ist.

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch

$\frac{1}{2^{n}}$

$0$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Schritt 4

Mutltipliziere

$\frac{1}{\ln (2)}$ mit

$0$ .

$0$