Analysis Beispiele

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Schritt 1

Multipliziere ${(1 - \cos (x))}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 - \cos (x))}^{2}$ als $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ um.

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 1.5

Bewege $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Schritt 1.6

Bewege $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 1.12

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Schritt 1.13

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Schritt 1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 1.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 1.16

Subtrahiere $\cos (x)$ von $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 10

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Schritt 16.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$