Analysis Beispiele

$y = \cot (x)$

Schritt 1

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 2.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Schritt 2.7

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \csc^{2} (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.4

Multipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.5.2

Schreibe $- 1 \csc^{4} (x)$ als $- \csc^{4} (x)$ um.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 3.10

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Schritt 3.11

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Schritt 3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Schritt 3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Schritt 3.14

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Schritt 3.15

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Schritt 3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Schritt 3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Schritt 3.18

Vereinfache.

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Schritt 3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Schritt 3.18.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.18.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Schritt 3.18.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 3.18.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot^{2} (x)$ und $g (x) = \csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cot (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.6

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.8

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.9

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.12

Multipliziere $\cot^{2} (x)$ mit $\cot (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.12.1

Bewege $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.12.2

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $\cot^{2} (x)$ .

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Schritt 4.2.12.2.1

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$- 4 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.12.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.14

Multipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.14.1

Bewege $\csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.2.14.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \csc^{4} (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 4.3.5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

Schritt 4.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

Schritt 4.3.7

Addiere $1$ und $3$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 4 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 4 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 8 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Schritt 4.4.2.3

Addiere $8 \csc^{4} (x) \cot (x)$ und $8 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$