Analysis Beispiele

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

Schritt 1

Benutze die Halbwinkelformel, um

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ als

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ neu zu schreiben.

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Schritt 2

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

y

$y$ ist, ziehe

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Schritt 5

Sei

u = 2 y

$u = 2 y$ . Dann ist

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , folglich

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

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Schritt 5.1

Es sei

u = 2 y

$u = 2 y$ . Ermittle

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 5.1.2

2

$2$ konstant bezüglich

y

$y$ ist, ist die Ableitung von

2 y

$2 y$ nach

y

$y$ gleich

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6

Kombiniere

\cos (u)

$\cos (u)$ und

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 7

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 8

Das Integral von

\cos (u)

$\cos (u)$ nach

u

$u$ ist

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 10

Ersetze alle

u

$u$ durch

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Schritt 11.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

y

$y$ .

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Schritt 11.4

Multipliziere

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ mit

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$