Analysis Beispiele

$\int y e^{x y} d x$

Schritt 1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$y \int e^{x y} d x$

Schritt 2

Sei $u = x y$ . Dann ist $d u = y d x$ , folglich $\frac{1}{y} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x y$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{y}$ .

$y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y$ .

$\frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int e^{u} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$\int e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$e^{x y} + C$