Analysis Beispiele

\int 4 cos (2 x) d x

$\int 4 \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Da

4

$4$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ziehe

4

$4$ aus dem Integral.

4 \int cos (2 x) d x

$4 \int \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Sei

u = 2 x

$u = 2 x$ . Dann ist

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , folglich

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei

u = 2 x

$u = 2 x$ . Ermittle

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da

2

$2$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

2 x

$2 x$ nach

x

$x$ gleich

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

4 \int cos (u) \frac{1}{2} d u

$4 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

4 \int cos (u) \frac{1}{2} d u

$4 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere

cos (u)

$\cos (u)$ und

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

4 \int \frac{cos (u)}{2} d u

$4 \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

4 (\frac{1}{2} \int cos (u) d u)

$4 (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

4

$4$ .

\frac{4}{2} \int cos (u) d u

$\frac{4}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

4

$4$ und

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

4

$4$ heraus.

\frac{2 \cdot 2}{2} \int cos (u) d u

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2

$2$ heraus.

\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int cos (u) d u

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere

$2$ durch

$1$ .

$2 \int \cos (u) d u$

$2 \int \cos (u) d u$

$2 \int \cos (u) d u$

$2 \int \cos (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von

$\cos (u)$ nach

$u$ ist

$\sin (u)$ .

$2 (\sin (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$2 \sin (u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle

$u$ durch

$2 x$ .

$2 \sin (2 x) + C$

$\int_{}^{} 4 \cos (2 x) d x$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

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



π

π











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1

1

2

2

3

3

-

-

+

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÷

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<

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

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∞

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



!

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

,

,

0

0

.

.

%

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

=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$