Analysis Beispiele

$\int \sin (t) \sec^{2} (\cos (t)) d t$

Schritt 1

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 3

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$- (\tan (u) + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

$- \tan (u) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\cos (t)$ .

$- \tan (\cos (t)) + C$