Analysis Beispiele

$\int \sin (4 x) e^{\cos (4 x)} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (4 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 4 \sin (4 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (4 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 \sin (4 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (4 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{\cos (4 x)} + C$