Analysis Beispiele

$\int \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (2 x) d x$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7

Kombiniere $\cos^{2} (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 9

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{2})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Schritt 14

Sei $u_{3} = 2 u_{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 14.1

Es sei $u_{3} = 2 u_{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 14.1.1

Differenziere $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Schritt 14.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Schritt 14.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Schritt 15

Kombiniere $\cos (u_{3})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Schritt 16

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3})$

Schritt 17

Das Integral von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{4} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Vereinfache.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Schritt 18.2

Vereinfache.

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Schritt 18.2.1

Um $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 18.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3}))$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 18.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{3})) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 18.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (u_{3})$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 18.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Schritt 18.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 18.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 (1)}{4} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Schritt 18.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Schritt 18.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Schritt 18.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Schritt 19

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 19.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (u_{2} + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Schritt 19.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (u_{3})}{2})}{2} + C$

Schritt 19.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 u_{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 u_{2})}{2})}{2} + C$

Schritt 19.4

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (2 (2 x))}{2})}{2} + C$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2})}{2} + C$

Schritt 20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Schritt 20.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Schritt 20.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \cos (2 x) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Schritt 20.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}}{2} + C$

Schritt 20.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

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Schritt 20.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Schritt 20.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \cos (2 x) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (2 x)$ heraus.

$\frac{- (\cos (2 x)) + x + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 21.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- (\cos (2 x)) - 1 (- x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 21.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (2 x)) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- (\cos (2 x) - x) + \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 21.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\frac{\sin (4 x)}{4}$ heraus.

$\frac{- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 21.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (2 x) - x) - \frac{- \sin (4 x)}{4}$ heraus.

$\frac{- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 21.6

Schreibe $- (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ als $- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})$ um.

$\frac{- 1 (\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4})}{2} + C$

Schritt 21.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (2 x) - x + \frac{- \sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 21.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (2 x) - x - \frac{\sin (4 x)}{4}}{2} + C$

Schritt 21.9

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} (\cos (2 x) - x - \frac{1}{4} \sin (4 x)) + C$