Analysis Beispiele

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (2 x)}$ an.

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Schritt 1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Schritt 1.4

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Schritt 1.5

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{5} (2 x)$ heraus.

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Schritt 1.6

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Schritt 1.7

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ und $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Schritt 1.9

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{4} (2 x)$ heraus.

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Schritt 1.10

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Schritt 1.11

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Schritt 1.12

Schreibe $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Schritt 1.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.13.1

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Schritt 1.13.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.14

Multipliziere $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.14.1

Kombiniere $\tan (2 x)$ und $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Schritt 1.14.2

Kombiniere $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ und $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Schritt 1.15

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{3} (2 x)$ heraus.

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Schritt 1.16

Separiere Brüche.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Schritt 1.17

Schreibe $\tan (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Schritt 1.18

Schreibe $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Schritt 1.19

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.19.1

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Schritt 1.19.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.20

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{2} (2 x)$ heraus.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.21

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.22

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.23

Schreibe $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.24

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.24.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.24.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.24.3

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.24.4

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.24.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.24.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Schritt 1.25

Multipliziere $\sec^{2} (2 x)$ mit $\sec (2 x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.25.1

Bewege $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Schritt 1.25.2

Mutltipliziere $\sec (2 x)$ mit $\sec^{2} (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.25.2.1

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Schritt 1.25.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Schritt 1.25.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 1.26

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 x)}$ nach $\sec (2 x)$ um.

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 1.27

Multipliziere $\sec (2 x)$ mit $\sec^{3} (2 x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.27.1

Mutltipliziere $\sec (2 x)$ mit $\sec^{3} (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.27.1.1

Potenziere $\sec (2 x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 1.27.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Schritt 1.27.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \sec (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \sec (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Kombiniere ${u_{2}}^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{3}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$